數字方陣淺談（之三）附錄一

 含山玉版的數學密碼

含山玉龜和玉版為6500多年前的文物，這個刻著河圖洛書的玉版，使得“神龜負書”的(de)神(shen)話(hua)傳(chuan)說(shuo)在(zai)考(kao)古(gu)學(xue)中(zhong)得(de)到(dao)了(le)有(you)力(li)的(de)印(yin)證(zheng)。存(cun)在(zai)六(liu)千(qian)多(duo)年(nian)的(de)河(he)圖(tu)洛(luo)書(shu)記(ji)載(zai)中(zhong)華(hua)古(gu)文(wen)明(ming)的(de)精(jing)彩(cai)篇(pian)章(zhang)，試(shi)讀(du)其(qi)中(zhong)隱(yin)含(han)的(de)數(shu)學(xue)密(mi)碼(ma)
，以(yi)為(wei)拋(pao)磚(zhuan)引(yin)玉(yu)。

工藝精湛的玉版刻畫了河圖與洛書

，以及八角星紋、小圓圈
、大圓圈，大圓內外的12個ge圭gui形xing紋wen飾shi，分fen別bie代dai表biao了le人ren文wen以yi及ji天tian文wen地di理li等deng等deng的de自zi然ran形xing態tai。在zai文wen字zi還hai沒mei有you誕dan生sheng的de遠yuan古gu時shi期qi
，一yi片pian不bu朽xiu的de玉yu版ban蘊yun含han了le豐feng富fu的de信xin息xi，堪kan稱cheng遠yuan古gu文wen明ming的de典dian籍ji。

youyuniandaijiuyuan
，yubanshangzuoweidangshibiaoshishuzidedian
，youdebijiaomohunanbian
，tongshiyubanshangyoulebanhen
，erqiebushikezaijiugonggelimiandeluoshutushi，shibieqilaiqueshihenburongyi。bizhezaixibianrenshidu，miaohuachuyubanshangdetuanheshuzi（如下圖）。

圖3-1

玉版圖案整體是長方形，內雕刻兩個圓形，大致呈對稱形狀。兩個圓圈將平麵分成三層，外方內圓。

兩圓圈之間的圓環雕刻八條線段
，將圓環分成八個區域：A，B，C

，D


，E
，F，G，H

，在每個區域內雕刻一個圭形紋飾。大圓外層分出四個區域K，L
，M，N，每個區域對應圓環的兩個區域，並且雕刻一個圭形紋飾。共有12個圭形紋飾（見下圖）。

線條豐富，從中我們可以認識遠古人們的數學認知與技能。數學誕生於人們對自然界的觀察，源於生活
、生產的實際體驗，從含山玉版可見一斑。

兩個“圓”
，小圓的外徑長寬比為1.03
，大圓的外徑長寬比為1.072。兩者都接近於圓，考慮到拍照的誤差

，可以認為兩個都是真正意義的圓。說明當時人們觀察太陽
，知道了圓。

大圓的直徑是小圓的3倍，整個玉版外沿比例是0.64，接近黃金比例0.618。所以，整個玉版及其圖案，看上去很勻稱大方得體，體現了數學的對稱和諧之美。

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

圖3-2

兩圓之間分區域的線段DH是穿過圓心的，在一條直線上的，AE與CH接近在一條直線上，而線段OB與OF折角比較大
，是否有意為之不得而知。

玉版圖案中有12個圭形紋飾，大圓外圍4個ge圭gui形xing紋wen飾shi


，圓yuan環huan內nei八ba個ge
，分fen別bie指zhi向xiang四si麵mian八ba方fang。每mei一yi個ge圭gui圖tu都dou有you一yi條tiao中zhong脊ji線xian
，相xiang對dui位wei置zhi的de兩liang個ge圭gui圖tu的de中zhong脊ji線xian基ji本ben上shang在zai一yi條tiao直zhi線xian上shang，其qi連lian線xian均jun通tong過guo小xiao圓yuan接jie近jin圓yuan心xin的de位wei置zhi。

大圓外圍4個圭形紋飾的兩條中脊線
，基本上是長方形的對角線。

從這些構圖可以解讀隱含的數學密碼：

數學密碼1，dangshiyubandegoutushejilezhouduichengyuzhongxinduichengtuxing。suiranshouxianyurenzhihegongju
，zongtihaishichengxianchuduichengmei。duichengmeitixianlezhongguogudaiduimeidezhuiqiu

，yanxuzhijin。

數學密碼2
，掌握並使用工具畫出圓形圖案

，會用於設計！

數學密碼3，知道應用線條與圓將平麵劃分區域，以便在不同的區域設計製作不同的圖案。

數學密碼4，基ji本ben掌zhang握wo長chang方fang形xing的de畫hua法fa並bing畫hua出chu對dui角jiao線xian
，會hui以yi對dui角jiao線xian的de交jiao點dian作zuo為wei圓yuan心xin，畫hua出chu兩liang個ge同tong心xin圓yuan。限xian於yu當dang時shi的de畫hua圖tu工gong具ju
，雖sui然ran不bu是shi很hen精jing準zhun，已yi經jing可ke以yi看kan出chu整zheng體ti設she計ji的de用yong心xin。

數學密碼5，當時人們知道畫圓，然而尚未掌握四等分和八等分
，隻是靠目測。

圖中末行是甲骨文數字。

圖中心的“八角星”紋，是由“井”字添加線段而成。“八角星”處於中心位置其意義當然不同一般。多認為“八角星”是太陽紋的抽象表現，是古人對太陽運行規律的認識，日神崇拜的反映。有人說它是神農族後裔（含蚩尤族後裔）的標誌
，在中國本土，凡是有“八角星”紋出現的地方，就有神農族後裔的身影。在阿拉伯世界，多用八角星來做裝飾紋路，他們的“八角星”是多由兩個正方形拚合而成的。

含山玉版八角星是現存最早的八角星圖樣。

圭，用於測定太陽影子長短和角度變化，分別用於測定四季變化和時辰，成為太陽與人間“對話”的媒介。因此也是神聖之物。

圭的下端插地，上為尖端起到箭頭指向作用。其形狀從哪兒來的，珍禽羽毛？植物葉子
、穗子
？都有可能，是數學的抽象，藝術的創作。

數學密碼6，用太陽影長判別季節變化
，用太陽影子的角度變化來認知時辰
，這是天文學與計時學的開端。

數學密碼7，當時人們已經有了長度的概念，使用測量工具並且有了度量長度的標準（尺寸）。

玉版上鑽了不少沒有鑽透的小眼窩

，用這些小眼窩作為表示數字的點
，分布在各個區域，這是玉版傳遞的極為重要的數學信息。

首先
，用點的的個數表示數字

，是數學發展具有裏程碑意義的進展。古人類經曆了結繩記數時期以繩結表示數，發展到以實物（果子、貝殼
、樹枝等）表biao示shi數shu字zi，即ji物wu化hua的de數shu字zi，再zai發fa展zhan到dao符fu號hao表biao示shi數shu字zi。每mei一yi步bu都dou經jing曆li了le千qian百bai年nian經jing驗yan與yu智zhi慧hui的de積ji累lei。玉yu版ban上shang用yong點dian的de個ge數shu表biao示shi數shu字zi，是shi從cong物wu化hua數shu字zi向xiang符fu號hao數shu字zi發fa展zhan的de重zhong要yao過guo渡du
，符fu號hao數shu字zi就jiu是shi創chuang造zao文wen字zi的de開kai端duan。

第二，這10個數字
，有序地分布在玉版上各自的區域上：1，2，3，4，6，7的點基本上在圓環外的區域，由於8與9的點數比較多，就在大圓外的區域與圓環之間跨界。特別地
，表示5與10的兩個數字的點，分別落在小圓與圓環之間。

第三，{1
，2，3
，4，6，7，8，9}中，8個數字是按照奇數與偶數相互錯開排列在間隔區域的。而{5
，10}在中心區域。奇數古稱陽數
，偶數古稱陰數，也就是說玉版上的10個數字是陰陽交錯編排於不同區域，體現古代陰陽平衡的哲學思想。第四，在忽略圖2中“10”的情況下，三組數字{4
，9，2}、{3
，5
，7}與{8
，1，6}是橫向排列的，而{4，3

，8}、{9
，5，1}與{2，7
，6}三組數字是縱向排列的；六組數每一組的三個數之和都是15。交叉線上的兩組數{2

，5，8}與{4
，5
，6}中
，三個數之和也是15。這9個數字構成一種洛書圖式。顯然
，與中心“5”相對的兩個數之和都是10。

第五，在確認圖2中“10”存在的情況下，大圓外相鄰區域的兩數字成為一對，有如下特點：（1）N區域的6與1
，K區域的2與7，M區域的8與3，L區域的4與9，以及大圓內的5與10，兩個數之差都是5；（2）各對兩個數之和依次是7
，9
，11，13，15
，構成等差數列
；（3）每兩個數都是由一個奇數與一個偶數配對而成

，就是說五對數
，每一對都是奇偶搭配陰陽平衡的。

玉版各數位置以及它們之間的關係，提供了有趣又奇妙的信息：

數學密碼8，用點數表示數字，開啟了符號數字之門，這是產生文字的開端
，具有開創性的意義。

數學密碼9
，會區分陽數與陰數，有了陽數（奇數）與陰數（偶數）的意識
，即掌握了奇數偶數的概念。這在數學概念發展上是重要的成果。

數學密碼10，掌握了20以內的加減計算。

數學密碼11，數的和與差被很巧妙地應用於不同方位的編排當中，初具等差數列的應用。

數學密碼12，為10進製奠定了基礎。我國古代十進位製的記數法，在世界數學史上是一個偉大的創造，列入“中國古代發明創造清單”之四。馬克思在他的《數學手稿》一書中稱十進位記數法為"最妙的發明之一"。

數學密碼13，形成河圖與洛書某種圖式，開創了應用數學和數字藝術的先聲。為幻方
、數字魔方、數獨以及現代圖論的研究提供了雛形。

安徽含山出土6500年前的玉龜銜玉版

，已經有了很多專著論述。方寸之中
，凝聚先民智慧，傳遞數學密碼，承載數學之美，開啟中華文明之源。本文或許畫蛇添足，僅為求教。